Номер задания
0/726решено

Задачи 19–21

Уровень ЕГЭ

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из обеих куч по три камня или уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 10, а в другой 15 камней; такую позицию мы будем обозначать (10, 15). За один ход из позиции (10, 15) можно получить любую из трёх позиций: (7, 12), (5, 15), и (10, 7). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 100. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 100 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 48 камней, во второй куче – S камней, S > 52.

Задача #2827
Задание 19
Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2828
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2829
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
ЕГКР 21.12.24 Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
- добавить в кучу 3 камня;
- добавить в кучу 6 камней;
- увеличить количество камней в куче в 3 раза.
Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 23, 26 или 60 камней.
Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 132. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 132 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤S≤ 131.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2768
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2769
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2770
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(В. Лашин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи от 1 до 5(включительно) камней или уменьшить количество камней в куче в пять раз (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) . Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 19, 18, 17, 16, 15 или 4 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 12.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 12 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2740
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2741
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значение S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2742
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит одна куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу три камня, увеличить количество камней в куче в три раза или добавить в кучу возведённое в квадрат количество камней в ней. Например, пусть в куче 10 камней, тогда игрок после своего хода может получить кучу из 13 камней, 30 камней или 110 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 665. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в куче будет 666 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, S < 666.

Задача #2717
Задание 19
Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2718
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2719
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(М. Попков) В волшебном королевстве Герда и Кай решили поиграть в игру со снежинками. На поляне лежит куча снежинок. Игроки ходят по очереди, первой ходит Герда. За один ход игрок может добавить в кучу одну снежинку или шесть снежинок, либо удвоить количество снежинок в куче. У каждого игрока есть неограниченное количество снежинок для своих ходов.

Игра заканчивается, когда количество снежинок в куче становится не менее 103. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 103 снежинки или больше.

В начальный момент в куче было S снежинок, 1 ≤ S ≤ 102.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2700
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Герда не может выиграть за один ход, но при любом ходе Герды Кай может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2701
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Герды есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия:

- Герда не может выиграть за один ход;

- Герда может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Кай.

Запишите найденные значения в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2702
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- У Кая есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Герды;

- У Кая нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу 2 или 3 камня либо увеличить количество камней в куче в 3 раза. Для того, чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 313.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 313 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 312.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2604
Задание 19
Новая

Укажите сумму таких значений S, при которых Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2605
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2606
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите сумму таких значений S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из одной из куч три камня или уменьшить количество камней в куче в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на 1 камень больше, чем убирается). Например, пусть в одной куче 6, а в другой 9 камней; такую позицию мы будем обозначать (6, 9). За один ход из позиции (6, 9) можно получить любую из трёх позиций: (3, 9), (6, 6), и (6, 5). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 72. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет 72 или меньше камней. В начальный момент в первой куче было 50 камней, во второй куче – S камней, S > 22.

Задача #2579
Задание 19
Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите максимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2580
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2581
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 77. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 77 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было 12 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 64.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2565
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2566
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2567
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите значения S, при которых одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
В ответе укажите количество таких значений

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(В. Колчев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи четыре камня или убрать из кучи шесть камней или уменьшить количество камней в куче в 2 раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 16, 14 или 10 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2531
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2532
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2533
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 7 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 33.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 33 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 34.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2511
Задание 19
Новая

При каких значениях S Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом? В ответе укажите одно число — количество таких значений.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2512
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2513
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в два раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 17, 15 или 10 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 17.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 17 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 18.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2477
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2478
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2479
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Демоверсия Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может: убрать из кучи два камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего). Например, из кучи в 20 камней за один ход можно получить кучу из 18, 15 или 6 камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более 19.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 19 или меньше камней. В начальный момент в куче было S камней, S ≥ 20.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2447
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Ответ
Открыть задачу
Задача #2448
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2449
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два камня или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 54. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 54 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 53.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2404
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2405
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2406
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 67. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 67 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 66.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2382
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Ответ
Открыть задачу
Задача #2383
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2384
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 39. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 39 камней или больше. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 38.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2357
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Ответ
Открыть задачу
Задача #2358
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2359
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 58 камней или больше. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 57.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2332
Задание 19
Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом

Ответ
Открыть задачу
Задача #2333
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2334
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 65. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 65 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было шесть камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 58.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2307
Задание 19
Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2308
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2309
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе укажите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу пять камней либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 435. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 435 или более камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 434.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2281
Задание 19
Новая

Укажите наименьшее значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2282
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два таких минимальных значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2283
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Если найдено несколько значений S, в ответе запишите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 59. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается 59 или больше камней.
В начальный момент в первой куче было пять камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 53.

Задача #2256
Задание 19
Новая

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2257
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
– Петя не может выиграть за один ход;
– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2258
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Если найдено несколько значений S, в ответе укажите наименьшее из них.

Ответ
Открыть задачу
Сложнее ЕГЭ

(Е.Джобс) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи 10 камней или уменьшить количество камней в 2 раза. При нечетном количестве камней в результате второго хода из кучи убирается на один камень больше, чем остается.

Например, из кучи из 21 камня можно получить кучу из 11 камней или кучу из 10 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней становится меньше 20.

Игрок, первым получивший кучу, удовлетворяющую условию окончания игры, считается проигравшим.

В начальный момент в куче было S камней; S > 30.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #2231
Задание 19
Новая

Укажите максимальное значение S, при котором Ваня не может гарантировано выиграть после первого хода Пети, однако имеет выигрышную стратегию, в которой Петя сходил ровно два раза.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2232
Задание 20
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, при соблюдении которой Петя делает ровно 2 хода за игру, и при этом не имеет стратегий, при которых имеет возможности победить, сделав меньшее количество шагов.

Ответ
Открыть задачу
Задача #2233
Задание 21
Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– Ваня имеет выигрышную стратегию, в которой он делает ровно два хода;

– у Вани нет стратегии, при которой у него есть возможность победить, сделав один ход.

Ответ
Открыть задачу
Показаны 41-60 из 242
← Назад
1 2 3 4 … 12 13
Вперёд →