База задач №19–21 · Теория игр — Код [101]

Уровень ЕГЭ

(Л. Шастин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или пять камней либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 31.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 31 или более камня.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 30.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #730

Задание 19

Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя может выиграть своим вторым ходом после неудачного хода Вани.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #731

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, при этом он не может выиграть за один ход.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #732

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым или третьим ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 255. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах будет 255 или больше камней.

В начальный момент в первой куче было 17 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 237.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #701

Задание 19

Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #702

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #703

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 443.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 443 камней или больше.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 442.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #687

Задание 19

Новая

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #688

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #689

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может увеличить количество камней в куче на 1, 3 или 7. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, первым получивший кучу из 42 камней, считается победителем. Игрок получивший после своего хода более 42 камней считается проигравшим и победителю засчитывается ход в 42. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #670

Задание 19

Новая

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #671

Задание 20

Новая

Найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;
− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #672

Задание 21

Новая

Найдите два наименьших значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу, количество камней, которое является делителем текущего количества камней в куче, кроме единицы и самого числа, если количество камней в куче является простым числом, то игрок может добавить только один камень. Например, пусть в куче было 8 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 10 камней или из 12 камней. Или пусть в куче было 7 камней. Тогда за один ход можно получить кучу из 8 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Выигрывает тот игрок, после хода, которого количество камней в куче становится не менее 63. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 62. Укажите такое наименьшее значение S, при котором Ваня выигрывает своим первым ходом при любой игре Пети.

Задача #647

Задание 19

Новая

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #648

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причем одновременно выполняются два условия:

- Петя не может выиграть за один ход;

- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе запишите сначала наименьшее, затем наибольшее значение.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #649

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

- У Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Сложнее ЕГЭ

(Д. Статный) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу два или четыре камня; увеличить количество камней в два раза.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней куче становится не менее 100.

Игрок, который получил 100 и более камней, считается проигравшим.

В начальный момент в первой куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 99.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #625

Задание 19

Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя выигрывает, совершив всего лишь один ход, не используя умножение.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #626

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два значения S, при которых у Вани есть выигрышная стратегия, причём

одновременно выполняются два условия:

— Ваня не может гарантированно выиграть, совершив один ход;

— Ваня может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Петя.

Ответы укажите в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #627

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимально и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть, совершив один ход;

— Петя может выиграть, совершив не более двух ходов, независимо от того, как будет ходить Ваня.

В ответе укажите сначала минимальное, а затем - максимальное.

Открыть задачу

Введите ответ

Сложнее ЕГЭ

(Д. Статный) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит S куч камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один, три, пять, семь, восемь, двенадцать камней. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в кучах суммарно становится не менее 97.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший суммарное количество камней 97 или более камней.

В начальный момент в кучах было количество камней, образующее арифметическую прогрессию с шагом в M камней. Где в первой куче M камней; 2<=M<=20.

Например, для 3-х куч: (M; 2M; 3M)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #583

Задание 19

Новая

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #584

Задание 20

Новая

Укажите такое максимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию в один ход.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #585

Задание 21

Новая

Найдите максимальное и минимальное значение S, при котором Петя имеет выигрышную стратегию в два хода, но не может выиграть раньше. В ответ укажите сначала максимальное, а затем - минимальное.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(PRO100 ЕГЭ) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или три камня или одиннадцать камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится числом, оканчивающимся на ноль. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, количество камней в которой оканчивается на ноль. К примеру, игра заканчивается, когда в куче стало 10, 200, 6800 камней.

В начальный момент в куче было S камней. S – двузначное число, не оканчивающиеся на ноль.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #576

Задание 19

Новая

Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #577

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #578

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите сумму значений S, при которых одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 351.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 351 или более камня.

В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 350.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #553

Задание 19

Новая

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #554

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём

одновременно выполняются два условия:

— Петя не может выиграть за один ход;

— Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #555

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

— у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

— у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может уменьшить количество камней в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего) или убрать из кучи 12 камней. Например, из кучи из 35 камней можно получить кучу из 11 или 23 камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не более 12. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было S камней (S ≥ 13).

Задача #530

Задание 19

Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. При каком максимальном значении S такое возможно?

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #531

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;

• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #532

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19 определите, сколько существует значений S, при которых одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в меньшую кучу любое количество камней от одного до количества камней в этой куче. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Если кучи содержат равное количество камней, добавлять камни можно в любую из них. Пусть, например, в начале игры в первой куче 3 камня, а во второй – 5 камней, будем обозначать такую позицию (3, 5). Петя первым ходом должен добавить в первую кучу от 1 до 3 камней, он может получить позиции (4, 5), (5, 5) и (6, 5). Если Петя создаёт позицию (4, 5), то Ваня своим ходом может добавить от 1 до 4 камней в первую кучу, а если Петя создаёт позицию (6, 5), то Ваня может добавить от 1 до 5 камней во вторую кучу, так как теперь она стала меньшей. В позиции (5, 5) Ваня может добавить от 1 до 5 камней в любую кучу.

Игра завершается, когда общее количество камней в кучах становится более 39 Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший 40 или больше камней в двух кучах.

Задача #513

Задание 19

Новая

Известно, что Петя смог выиграть первым ходом. Какое наименьшее число камней могло быть суммарно в двух кучах?

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #514

Задание 20

Новая

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 35

Укажите минимальное и максимальное из таких значений S, при которых Петя не может выиграть первым ходом, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Вани.

В ответе запишите сначала минимальное значение, затем максимальное.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #515

Задание 21

Новая

В игре, описанной в задании 19, в начальный момент в первой куче было 4 камня, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 35

Найдите минимальное из таких значений S, при котором у Вани есть стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в меньшую кучу один или три камня. Изменять количество камней в большей куче не разрешается. Игра завершается, когда количество камней в кучах становится равным. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым сравнявшим количество камней в двух кучах. Игроки играют рационально, т.е. без ошибок. В начальный момент в первой куче было 13 камней, а во второй – S камней, 1 ≤ S ≤ 23?

Задача #501

Задание 19

Новая

Укажите такое минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #502

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответ в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #503

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два значения S, при котором одновременно выполняются три условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом;

– Ваня может выиграть первым ходом после одного из ходов Пети.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(А. Рогов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в любую из куч один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в одной из куч становится не менее 479.

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в одной из куч 479 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было 239 камней, во второй куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 478.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #481

Задание 19

Новая

Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #482

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #483

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(А. Игнатюк) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить 3 камня, добавить 6 камней или увеличить количество камней в 2 раза, при этом нельзя повторять последний ход соперника.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 40. Победителем считается игрок, сделавший последний ход.

В начальный момент в куче было S камней, 2 ≤ S ≤ 36.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #463

Задание 19

Новая

Укажите такое максимальное допустимое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #464

Задание 20

Новая

(А. Игнатюк) Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

– Петя не может выиграть за один ход;

– Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #465

Задание 21

Новая

(А. Игнатюк) Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В ответе укажите два числа: сначала минимальное значение, затем максимальное.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 52. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 52 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было 5 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 46.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #454

Задание 19

Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #455

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #456

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 117. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 117 камней или больше.

В начальный момент в первой куче было 13 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 103.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #436

Задание 19

Новая

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #437

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #438

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень, добавить два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. При этом утроение разрешено выполнять, только если в куче в данный момент находится кратное трём количество камней.

Например, если в начале игры в куче 3 камня, Петя может первым ходом получить кучу из 4, 5 или 9 камней. Если Петя получил кучу из 4 камней (добавил один камень), то следующим ходом Ваня может получить 5 или 6 камней. Получить 12 камней Ваня не может, так как нельзя утраивать кучу с не кратным трём числом камней.

Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не менее 56. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 56 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 55

Задача #412

Задание 19

Новая

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #413

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задании 19, укажите значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но у Пети есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть вторым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #414

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите значение S, при котором у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым, вторым или третьим ходом при любой игре Пети, но у Вани нет стратегии, которая позволяла бы ему гарантированно выиграть первым или вторым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Сложнее ЕГЭ

(Д. Тараскин) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может забрать из кучи любое количество камней (но обязательно хотя бы один камень нужно забрать)

Игра завершается в тот момент, когда кто-то из игроков не может сделать ход (обе кучи пустые). Кто оказался в такой ситуации тот проигрывает.

В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче – S камней; S >= 15.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Петя сделал первый ход, после которого он при правильной игре гарантированно побеждает независимо от ходов Вани.

Задача #401

Задание 19

Новая

Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #402

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите минимальное S, при котором Петя проигрывает независимо от своего первого хода при правильной игре Вани.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #403

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, введем ограничение: за один ход из кучи можно забрать от 1 до 5 камней. В первой куче также изначально 15 камней. Петя делает первый ход, который не гарантирует ему дальнейшую победу при правильной игре, затем Ваня делает неудачный ход и после серии ходов Петя гарантированно выигрывает независимо от ходов Вани. Укажите минимальное и максимальное 15 < S < 50, при которых это возможно.

Открыть задачу

Введите ответ

Сложнее ЕГЭ

(А.Богданов) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может изменить количество камней в куче на 1, 3 или 7, но обязательно в сторону числа 42. Если больше 42, то забирает камни из кучи. Если меньше 42, то добавляет камни. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится ровно 42. Игрок, сделавший ход, который привел к значению 42, считается победителем.

Задача #388

Задание 19

Новая

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #389

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в предыдущем задании, найдите два наименьших значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

− Петя не может выиграть за один ход;

− Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #390

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение S, при котором одновременно выполняются два условия:

– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;

– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Открыть задачу

Введите ответ

Уровень ЕГЭ

(А. Игнатюк) Два игрока Ваня и Петя играют в следующую игру: перед ними лежит куча, где находится S камней. Первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить 4 камня, если текущее количество камней в куче четно; или добавить такое количество камней, которое будет равно последней цифре текущего количества камней в куче, если только оно нечетно; или прибавить 6 камней.

Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится более 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из более чем из 29 камней. В начальный момент в куче было S камней, 1<S<26.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Задача #356

Задание 19

Новая

Укажите максимальное значение S, при котором выиграет Ваня первым ходом строго после неудачного хода Пети

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #357

Задание 20

Новая

Для игры, описанной в задаче 19, укажите сколько существует значений S, при которых Ваня побеждает своим вторым ходом вне зависимости от игры Пети.

Открыть задачу

Введите ответ

Задача #358

Задание 21

Новая

Для игры, описанной в задаче 19, укажите минимальное и максимальное значение S, при котором Петя выиграет 3 ходом при любой игре Вани.

Открыть задачу

Введите ответ

Задачи 19–21